一、评估丑闻的性质和严重程度

首先，公司需要对代言人身陷的丑闻进行全面评估。这包括了解丑闻的具体内容、涉及的人员、发生的时间和地点等。同时，还需要对丑闻的性质和严重程度进行判断。例如，如果丑闻涉及到法律问题或道德伦理问题，且性质恶劣，那么公司可能需要考虑立即放弃该代言人。因为这样的丑闻可能会对公司的品牌形象造成长期的负面影响。

二、分析代言合同的条款

其次，公司需要仔细分析与代言人签订的代言合同。合同中通常会规定双方的权利和义务，以及违约责任等条款。如果合同中有明确规定，在代言人身陷丑闻时，公司有权单方面解除合同并要求代言人承担相应的赔偿责任。那么，公司可以依据合同条款来行使自己的权利。

三、考虑公司的品牌形象和市场策略

除了以上两个方面外，公司还需要考虑自身的品牌形象和市场策略。如果代言人的丑闻与公司的品牌形象高度契合，或者公司一直以来都以正面、健康的形象示人，那么公司可能需要立即放弃该代言人。因为这样的丑闻可能会对公司的品牌形象造成毁灭性的打击，导致消费者对公司的信任度降低。

相反，如果公司的品牌形象比较多元化，或者公司一直以来都以勇敢、敢于面对挑战的形象示人，那么公司可以考虑继续与该代言人合作。因为这样的丑闻可能会让消费者认为公司是一个有担当、有勇气的公司，从而增强消费者对公司的认同感和忠诚度。

四、预测未来的市场反应和风险

最后，公司需要预测未来的市场反应和风险。如果公司认为代言人的丑闻可能会引发消费者的强烈反感和抵制，导致公司的销售额和市场份额大幅下降，那么公司可能需要立即放弃该代言人。因为在这种情况下，公司的利益可能会受到严重损害。

相反，如果公司认为代言人的丑闻虽然会引起一定的关注和争议，但不会对公司的销售和市场份额产生太大影响，或者公司有足够的信心和能力来应对未来的市场风险和挑战，那么公司可以考虑继续与该代言人合作。因为在这种情况下，公司可能会通过与代言人的合作来获得更多的市场机会和竞争优势。

综上所述，当公司的代言人身陷丑闻时，公司是否应该立即放弃该代言人并没有一个固定的答案。公司需要根据具体情况进行综合考虑和分析，以作出最符合自身利益的决策。同时，公司也需要保持灵活和敏锐的市场洞察力，以便及时应对市场变化和风险。